卷八
原文:
○方程（以御錯(cuò)糅正負(fù)） 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉， 下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、 中、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗 之一。下禾一秉二斗四分斗之三。
方程 〔程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率。二物者再程， 三物者三程，皆如物數(shù)程之。并列為行，故謂之方程。行之左右無所同存，且為 有所據(jù)而言耳。此都術(shù)也，以空言難曉，故特系之禾以決之。又列中、左行如右 行也?！?術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗于右方。中、左禾列 如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。
〔為術(shù)之意，令少行減多行，反復(fù)相減，則頭位必先盡。上無一位，則此行 亦闕一物矣。然而舉率以相減，不害余數(shù)之課也。若消去頭位，則下去一物之實(shí)。
如是疊令左右行相減，審其正負(fù)，則可得而知。先令右行上禾乘中行，為齊同之 意。為齊同者，謂中行直減右行也。從簡(jiǎn)易雖不言齊同，以齊同之意觀之，其義 然矣?！?又乘其次，亦以直除。
〔復(fù)去左行首。〕 然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。
〔亦令兩行相去行之中禾也?！?左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)。實(shí)即下禾之實(shí)。
〔上、中禾皆去，故余數(shù)是下禾實(shí)，非但一秉。欲約眾秉之實(shí)，當(dāng)以禾秉數(shù) 為法。列此，以下禾之秉數(shù)乘兩行，以直除，則下禾之位皆決矣。各以其余一位 之秉除其下實(shí)。即計(jì)數(shù)矣用算繁而不省。所以別為法，約也。然猶不如自用其舊。
廣異法也?！?求中禾，以法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí)。
〔此謂中兩禾實(shí)，下禾一秉實(shí)數(shù)先見，將中秉求中禾，其列實(shí)以減下實(shí)。而 左方下禾雖去一，以法為母，于率不通。故先以法乘，其通而同之。俱令法為母， 而除下禾實(shí)。以下禾先見之實(shí)令乘下禾秉數(shù)，即得下禾一位之列實(shí)。減于下實(shí)， 則其數(shù)是中禾之實(shí)也?！?余，如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)。
〔余，中禾一位之實(shí)也。故以一位秉數(shù)約之，乃得一秉之實(shí)也?！?求上禾，亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)。
〔此右行三禾共實(shí)，合三位之實(shí)。故以二位秉數(shù)約之，乃得一秉之實(shí)。今中 下禾之實(shí)其數(shù)并見，令乘右行之禾秉以減之。故亦如前各求列實(shí)，以減下實(shí)也?！?余，如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實(shí)。實(shí)皆如法，各得一斗。
〔三實(shí)同用，不滿法者，以法命之。母、實(shí)皆當(dāng)約之。〕 今有上禾七秉，損實(shí)一斗，益之下禾二秉，而實(shí)一十斗；下禾八秉，益實(shí)一 斗，與上禾二秉，而實(shí)一十斗。問上、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰：上禾一秉實(shí)一 斗五十二分斗之一十八。下禾一秉實(shí)五十二分斗之四十一。
術(shù)曰：如方程。損之曰益，益之曰損。
〔問者之辭雖？今按：實(shí)云上禾七秉，下禾二秉，實(shí)一十一斗；上禾二秉， 下禾八秉，實(shí)九斗也?！皳p之曰益”，言損一斗，余當(dāng)一十斗；今欲全其實(shí)，當(dāng) 加所損也。“益之曰損”，言益實(shí)以一斗，乃滿一十斗；今欲知本實(shí)，當(dāng)減所加， 即得也?！?損實(shí)一斗者，其實(shí)過一十斗也；益實(shí)一斗者，其實(shí)不滿一十斗也。
〔重諭損益數(shù)者，各以損益之?dāng)?shù)損益之也。〕 今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實(shí)皆不滿斗。上取中、中取下、下取 上各一秉而實(shí)滿斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰上禾一秉實(shí)二十五分斗 之九。中禾一秉實(shí)二十五分斗之七。下禾一秉實(shí)二十五分斗之四。
術(shù)曰：如方程。各置所取。
〔置上禾二秉為右行之上，中禾三秉為中行之中，下禾四秉為左行之下，所 取一秉及實(shí)一斗各從其位。諸行相借取之物皆依此例。〕 以正負(fù)術(shù)入之。
正負(fù)術(shù)曰： 〔今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異。
方程自有赤、黑相取，法、實(shí)數(shù)相推求之術(shù)。而其并減之勢(shì)不得廣通，故使赤、 黑相消奪之，于算或減或益。同行異位殊為二品，各有并、減之差見于下焉。著 此二條，特系之禾以成此二條之意。故赤、黑相雜足以定上下之程，減、益雖殊 足以通左右之?dāng)?shù)，差、實(shí)雖分足以應(yīng)同異之率。然則其正無入以負(fù)之，負(fù)無入以 正之，其率不妄也。〕 同名相除， 〔此謂以赤除赤，以黑除黑，行求相減者，為去頭位也。然則頭位同名者， 當(dāng)用此條，頭位異名者，當(dāng)用下條?！?異名相益， 〔益行減行，當(dāng)各以其類矣。其異名者，非其類也。非其類者，猶無對(duì)也， 非所得減也。故赤用黑對(duì)則除，黑；無對(duì)則除，黑；黑用赤對(duì)則除，赤；無對(duì)則 除，赤；赤黑并于本數(shù)。此為相益之，皆所以為消奪。消奪之與減益成一實(shí)也。
術(shù)本取要，必除行首。至于他位，不嫌多少，故或令相減，或令相并，理無同異 而一也?！?正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。
〔無入，為無對(duì)也。無所得減，則使消奪者居位也。其當(dāng)以列實(shí)或減下實(shí)， 而行中正負(fù)雜者亦用此條。此條者，同名減實(shí)，異名益實(shí)，正無入負(fù)之，負(fù)無入 正之也。〕 其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。
〔此條異名相除為例，故亦與上條互取。凡正負(fù)所以記其同異，使二品互相 取而已矣。言負(fù)者未必負(fù)于少，言正者未必正于多。故每一行之中雖復(fù)赤黑異算 無傷。然則可得使頭位常相與異名。此條之實(shí)兼通矣，遂以二條反覆一率。觀其 每與上下互相取位，則隨算而言耳，猶一術(shù)也。又，本設(shè)諸行，欲因成數(shù)以相去 耳。故其多少無限，令上下相命而已。若以正負(fù)相減，如數(shù)有舊增法者，每行可 均之，不但數(shù)物左右之也。〕 今有上禾五秉，損實(shí)一斗一升，當(dāng)下禾七秉；上禾七秉，損實(shí)二斗五升，當(dāng) 下禾五秉。問上、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰：上禾一秉五升。下禾一秉二升。
術(shù)曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉負(fù)，損實(shí)一斗一升正。
〔言上禾五秉之實(shí)多，減其一斗一升，余，是與下禾七秉相當(dāng)數(shù)也。故互其 算，令相折除，以一斗一升為差。為差者，上禾之余實(shí)也?！?次置上禾七秉正，下禾五秉負(fù)，損實(shí)二斗五升正。以正負(fù)術(shù)入之。
〔按：正負(fù)之術(shù)，本設(shè)列行，物程之?dāng)?shù)不限多少，必令與實(shí)上下相次，而以 每行各自為率。然而或減或益，同行異位，殊為二品，各自并、減，之差見于下 也?！?今有上禾六秉，損實(shí)一斗八升，當(dāng)下禾一十秉；下禾一十五秉，損實(shí)五升， 當(dāng)上禾五秉。問上、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰：上禾一秉實(shí)八升。下禾一秉實(shí)三 升。
術(shù)曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉負(fù)，損實(shí)一斗八升正。次，上禾 五秉負(fù)，下禾一十五秉正，損實(shí)五升正。以正負(fù)術(shù)入之。
〔言上禾六秉之實(shí)多，減損其一斗八升，余是與下禾十秉相當(dāng)之?dāng)?shù)。故亦互 其算，而以一斗八升為差實(shí)。差實(shí)者，上禾之余實(shí)?！?今有上禾三秉，益實(shí)六斗，當(dāng)下禾一十秉；下禾五秉，益實(shí)一斗，當(dāng)上禾二 秉。問上、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰：上禾一秉實(shí)八斗。下禾一秉實(shí)三斗。
術(shù)曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉負(fù)，益實(shí)六斗負(fù)。次置上禾二秉 負(fù)，下禾五秉正，益實(shí)一斗負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。
〔言上禾三秉之實(shí)少，益其六斗，然后于下禾十秉相當(dāng)也。故亦互其算，而 以六斗為差實(shí)。差實(shí)者，下禾之余實(shí)。〕 今有牛五，羊二，直金十兩；牛二，羊五，直金八兩。問牛、羊各直金幾何？ 答曰：牛一直金一兩二十一分兩之一十三。羊一直金二十一分兩之二十。
術(shù)曰：如方程。
〔假令為同齊，頭位為牛，當(dāng)相乘。右行定，更置牛十，羊四，直金二十兩； 左行：牛十，羊二十五，直金四十兩。牛數(shù)等同，金多二十兩者，羊差二十一使 之然也。以少行減多行，則牛數(shù)盡，惟羊與直金之?dāng)?shù)見，可得而知也。以小推大， 雖四五行不異也。〕 今有賣牛二，羊五，以買一十三豕，有余錢一千；賣牛三，豕三，以買九羊， 錢適足；賣六羊，八豕，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價(jià)各幾何？答曰 牛價(jià)一千二百。羊價(jià)五百。豕價(jià)三百。
術(shù)曰：如方程。置牛二，羊五正，豕一十三負(fù)，余錢數(shù)正；次，牛三正，羊 九負(fù)，豕三正；次五牛負(fù)，六羊正，八豕正，不足錢負(fù)。以正負(fù)術(shù)入之。
〔此中行買、賣相折，錢適足，故但互買賣算而已。故下無錢直也。設(shè)欲以 此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故終于下實(shí)虛缺矣。故 注曰正無實(shí)負(fù)，負(fù)無實(shí)正，方為類也。方將以別實(shí)加適足之?dāng)?shù)與實(shí)物作實(shí)。
盈不足章“黃金白銀”與此相當(dāng)。“假令黃金九，白銀一十一，稱之重適等。
交 易其一，金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何？”與此同?！?今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交 而處，衡適平。并 雀、燕重一斤。問雀、燕一枚各重幾何？答曰：雀重一兩一十九分兩之一十三。
燕重一兩一十九分兩之五。
術(shù)曰：如方程。交 易質(zhì)之，各重八兩。
〔此四雀一燕與一雀五燕衡適平，并重一斤，故各八兩。列兩行程數(shù)。左行 頭位其數(shù)有一者，令右行遍除。亦可令于左行而取其法、實(shí)于左。左行數(shù)多，以 右行取其數(shù)。左頭位減盡，中、下位算當(dāng)燕與實(shí)。右行不動(dòng)。左上空，中法，下 實(shí)，即每枚當(dāng)重宜可知也。按：此四雀一燕與一雀五燕其重等，是三雀、四燕重 相當(dāng)。雀率重四，燕率重三也。諸再程之率皆可異術(shù)求也，即其數(shù)也?！?今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十。
問甲、乙持錢各幾何？答曰：甲持三十七錢半。乙持二十五錢。
術(shù)曰：如方程。損益之。
〔此問者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。各以分母乘其全， 內(nèi)子。行定：二甲，一乙而錢一百；二甲，三乙而錢一百五十。于是乃如方程。
諸物有分者放此。〕 今有二馬，一牛，價(jià)過一萬，如半馬之價(jià)；一馬，二牛，價(jià)不滿一萬，如半 牛之價(jià)。問牛、馬價(jià)各幾何？答曰：馬價(jià)五千四百五十四錢一十一分錢之六。牛 價(jià)一千八百一十八錢一十一分錢之二。
術(shù)曰：如方程。損益之。
〔此一馬半與一牛價(jià)直一萬也，二牛半與一馬亦直一萬也。一馬半與一牛直 錢一萬，通分內(nèi)子，右行為三馬，二牛，直錢二萬。二牛半與一馬直錢一萬，通 分內(nèi)子，左行為二馬，五牛，直錢二萬也?！?今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借 中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各 力引幾何？答曰：武馬一匹力引二十二石七分石之六。中馬一匹力引一十七石七 分石之一。下馬一匹力引五石七分石之五。
術(shù)曰：如方程。各置所借，以正負(fù)術(shù)入之。
今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆。乙三綆不足，以丙一綆；丙四綆不 足，以丁一綆；丁五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆。如各得所不足 一綆，皆逮。問井深、綆長(zhǎng)各幾何？答曰：井深七丈二尺一寸。甲綆長(zhǎng)二丈六尺 五寸。乙綆長(zhǎng)一丈九尺一寸。丙綆長(zhǎng)一丈四尺八寸。丁綆長(zhǎng)一丈二尺九寸。戊綆 長(zhǎng)七尺六寸。
術(shù)曰：如方程。以正負(fù)術(shù)入之。
〔此率初如方程為之，名各一逮井。其后，法得七百二十一，實(shí)七十六，是 為七百二十一綆而七十六逮井，并用逮之?dāng)?shù)。以法除實(shí)者，而戊一綆逮井之?dāng)?shù)定， 逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一為井深，七十六為戊綆之長(zhǎng)，舉率以 言之?！?今有白禾二步，青禾三步，黃禾四步，黑禾五步，實(shí)各不滿斗。白取青、黃， 青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青，各一步，而實(shí)滿斗。問白、青、黃、黑 禾實(shí)一步各幾何？答曰：白禾一步實(shí)一百一十一分斗之三十三。青禾一步實(shí)一百 一十一分斗之二十八。黃禾一步實(shí)一百一十一分斗之一十七。黑禾一步實(shí)一百一 十一分斗之一十。
術(shù)曰：如方程。各置所取，以正負(fù)術(shù)入之。
今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆過于石。甲二重如乙一，乙三重 如丙一，丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何？答曰：甲禾一秉重二十 三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一 十。
術(shù)曰：如方程。置重過于石之物為負(fù)。
〔此問者言甲禾二秉之重過于一石也。其過者何云？如乙一秉重矣?；テ渌悖?令相折除，而一以石為之差實(shí)。差實(shí)者，如甲禾余實(shí)。故置算相與同也?！?以正負(fù)術(shù)入之。
〔此入，頭位異名相除者，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之也?！?今有令一人，吏五人，從者一十人，食雞一十；令一十人，吏一人，從者五 人，食雞八；令五人，吏一十人，從者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾 何？答曰令一人食一百二十二分雞之四十五。吏一人食一百二十二分雞之四十一。
從者一人食一百二十二分雞之九十七。
術(shù)曰：如方程。以正負(fù)術(shù)入之。
今有五羊，四犬，三雞，二兔，直錢一千四百九十六；四羊，二犬，六雞， 三兔，直錢一千一百七十五；三羊，一犬，七雞，五兔，直錢九百五十八；二羊， 三犬，五雞，一兔，直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價(jià)各幾何？答曰：羊價(jià) 一百七十七。犬價(jià)一百二十一。雞價(jià)二十三。兔價(jià)二十九。
術(shù)曰：如方程。以正負(fù)術(shù)入之。
今有麻九斗，麥七斗，菽三斗，荅二斗，黍五斗，直錢一百四十；麻七斗， 麥六斗，菽四斗，荅五斗，黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗，麥五斗，菽七斗， 荅六斗，黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗，麥五斗，菽三斗，荅九斗，黍四斗， 直錢一百一十二；麻一斗，麥三斗，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直錢九十五。問 一斗直幾何？荅曰：麻一斗七錢。麥一斗四錢。菽一斗三錢。荅一斗五錢。黍一 斗六錢。
術(shù)曰：如方程。以正負(fù)術(shù)入之。
〔此麻麥與均輸、少?gòu)V之章重衰、積分皆為大事。其拙于精理徒按本術(shù)者， 或用算而布?xì)?，方好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多為貴。故其算也，莫不暗 于設(shè)通而專于一端。至于此類，茍務(wù)其成，然或失之，不可謂要約。更有異術(shù)者， 庖丁解牛，游刃理間，故能歷久其刃如新。夫數(shù)，猶刃也，易簡(jiǎn)用之則動(dòng)中庖丁 之理。故能和神愛刃，速而寡尤。凡九章為大事，按法皆不盡一百算也。雖布算 不多，然足以算多。世人多以方程為難，或盡布算之象在綴正負(fù)而已，未暇以論 其設(shè)動(dòng)無方，斯膠柱調(diào)瑟之類。聊復(fù)恢演，為作新術(shù)，著之于此，將亦啟導(dǎo)疑意。
網(wǎng)羅道精，豈傳之空言？記其施用之例，著策之?dāng)?shù)，每舉一隅焉。
方程新術(shù)曰：以正負(fù)術(shù)入之。令左、右相減，先去下實(shí)，又轉(zhuǎn)去物位，則其 求一行二物正負(fù)相借者，是其相當(dāng)之率。又令二物與他行互相去取，轉(zhuǎn)其二物相 借之?dāng)?shù)，即皆相當(dāng)之率也。各據(jù)二物相當(dāng)之率，對(duì)易其數(shù)，即各當(dāng)之率也。更置 成行及其下實(shí)，各以其物本率今有之，求其所同。并，以為法。其當(dāng)相并而行中 正負(fù)雜者，同名相從，異名相消，余，以為法。以下置為實(shí)。實(shí)如法，即合所問 也。一物各以本率今有之，即皆合所問也。率不通者，齊之。
其一術(shù)曰：置群物通率為列衰。更置成行群物之?dāng)?shù)，各以其率乘之，并，以 為法。其當(dāng)相并而行中正負(fù)雜者，同名相從，異名相消，余為法。以成行下實(shí)乘 列衰，各自為實(shí)。實(shí)如法而一，即得。
以舊術(shù)為之。凡應(yīng)置五行。今欲要約，先置第三行，減以第四行，又減第五 行；次置第二行，以第二行減第一行，又減第四行。去其頭位；余，可半；次置 右行及第二行。去其頭位；次以右行去第四行頭位，次以左行去第二行頭位，次 以第五行去第一行頭位；次以第二行去第四行頭位；余，可半；以右行去第二行 頭位，以第二行去第四行頭位。余，約之為法、實(shí)。實(shí)如法而一，得六，即有黍 價(jià)。以法治第二行，得荅價(jià)，右行得菽價(jià)，左行得麥價(jià)，第三行麻價(jià)。如此凡用 七十七算。
以新術(shù)為此。先以第四行減第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下 位，又以減左行下位，不足減乃止；次以左行減第三行下位，次以第三行去左行 下位。訖，廢去第三行。次以第四行去左行下位，又以減右行下位；次以右行去 第二行及第四行下位；次以第二行減第四行及左行頭位；次以第四行減左行菽位， 不足減乃止；次以左行減第二行頭位，余，可再半；次以第四行去左行及第二行 頭位，次以第二行去左行頭位，余，約之，上得五，下得三，是菽五當(dāng)荅；次以 左行去第二行菽位，又以減第四行及右行菽位，不足減乃止；次以右行減第二行 頭位，不足減乃止；次以第二行去右行頭位，次以左行去右行頭位；余，上得六， 下得五，是為荅六當(dāng)黍五；次以左行去右行荅位，余，約之，上為二，下為一； 次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以減左行下位；次，左行去 第二行下位，余，上得三，下得四，是為麥三當(dāng)菽四；次以第二行減第四行下位； 次以第四行去第二行下位；余，上得四，下得七，是為麻四當(dāng)麥七。是為相當(dāng)之 率舉矣。據(jù)麻四當(dāng)麥七，即麻價(jià)率七而麥價(jià)率四；又麥三當(dāng)菽四，即為麥價(jià)率四 而菽價(jià)率三；又菽五當(dāng)荅三，即為菽價(jià)率三而荅價(jià)率五；又荅六當(dāng)黍五，即為荅 價(jià)率五而黍價(jià)率六；而率通矣。更置第三行，以第四行減之，余有麻一斗，菽四 斗正，荅三斗負(fù)，下實(shí)四正。求其同為麻之?dāng)?shù)，以菽率三、荅率五各乘其斗數(shù)， 如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一負(fù)。則菽、荅化為 麻。以并之，令同名相從，異名相消，余得定麻七分斗之四，以為法。置四為實(shí)， 而分母乘之，實(shí)得二十八，而分子化為法矣以法除得七，即麻一斗之價(jià)。置麥率 四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自為實(shí)。以麻率七為法。所得即 各為價(jià)。亦可使置本行實(shí)與物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。并， 以為法。如此，即無正負(fù)之異矣，擇異同而已。又可以一術(shù)為之。置五行通率， 為麻七、麥四、菽三、荅五、黍六，以為列衰。成行麻一斗，菽四斗正，荅三斗 負(fù)，各以其率乘之。訖，令同名相從，異名相消，余為法。又置下實(shí)乘列衰，所 得各為實(shí)。此可以置約法，則不復(fù)乘列衰，各以列衰為價(jià)。如此則凡用一百二十 四算也?！?
